배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)

이번 호에서는 진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학에 관한 내용으로서 비선형 광대역 에너지 하비스팅을 위한 압전 쌍안정 평판과 비선형 압전 변환기에 의한 광대역 진동으로부터 개선된 에너지 하비스팅을 중심으로 설명한다.

A. F. Arrieta, P. Hagedorn, A. Erturk, and D. J. Inman 연구

A. F. Arrieta, P. Hagedorn, A. Erturk, and D. J. Inman[1]은 2010년 APPLIED PHYSICS LETTERS 97에 발표한“A piezoelectric bistable plate for nonlinear broadband energy harvesting(비선형 광대역 에너지 하비 스팅을 위한 압전 쌍안정 평판)”이란 제목의 논문을 통하여 광대역 비선형 에너지 하비스팅을 위한 접합된 압전 패치를 가진 쌍안정 복합물의 풍부한 비선형 거동을 탐구하기 위한 방법을 제시했다.
이 논문의 저자들은 압전 쌍안정 복합 평판들(piezoelectric bistable composite plates)에 기반을 둔 광대역 하비스 팅 개념을 제시했다. 쌍안정 복합물들은 2개가 통계적으로 안정한 형상에 도달하기 위한 능력으로 인하여 합성(morphing) 응용에서 오랫동안 연구됐다[2].
이 쌍안정성 특성들은 넓은 주파수 범위에 대하여 발생하 는 다른 비선형 큰 진폭을 포함하는 동적 특성을 풍부하게 이 끌어왔다[3]. 쌍안정 평판에 유연한 압전 패치들을 더함에 의 해 높은 에너지 레벨들은 광대역 하비스팅 디바이스가 얻어 지는 비선형 발진으로부터 전환된다. 이전에 연구된 쌍안정 캔틸레버[4-6]와 다르게 이 연구에서 평판의 쌍안정성은 하 비스터 자체의 회로뿐만 아니라 전력을 가진 전기적 성분들 에 대하여 강제적일지도 모르는 강한 외부 자석들을 요구하 지 않는다. 더욱이 자석이 없는 곳에서 쌍안정 평판들은 쌍안 정 캔틸레버보다 작은 체적을 가지는 평판을 설계할 수 있다. 또한 2개 길이의 크기를 가지는 것은 보다 넓은 대역폭용 하 비스터 설계에서 유연성을 제공한다.
광대역 하비스팅 디바이스 개발을 위해 사용된 압전 쌍안 정 복합 평판의 2개의 안정한 상태들은 그림 1에서 개략적으 로 보여주고 있다.
더욱 유연한 구조를 얻기 위하여 각각의 코너에 부착된 인 공 진동원 질량을 가진 [90_o2-_o2] 200×200 탄소 섬유 에폭 시 쌍안정 복합 평판이 실험 견본으로서 채택됐다.

그림 2(a)에서 보여주는 것과 같이 이 평판은 평판의 중심으로부터 전기기계적 흔듦 기구(electromechanical shaker)로 실장 됐다.

4개의 PZT-5A 유연 압전 패치들은 그림 2(b)에 보여주는 것과 같이 고선단(high shear) 변형 에폭시를 이용하여 쌍안 정 평판의 표면에 접합했다. 압전 패치들은 전기 부하로서 역 할을 하는 간단한 저항에 병렬로 접속했다. 평판의 동적 응답 들은 각 상태에 대하여 그림 3에서 보여주는 것과 같이 비선 형 영향을 최소화하기 위해 0.05g의 매우 낮은 강제 진폭에 주파수 응답 함수(FRF; frequency response functions)를 이 용하여 각각 제한된 안정 상태에서 연구한 최초의 연구이다.

2개의 모드들은 안정한 상태 1에 대하여 10.9Hz, 15.8Hz에 서 ω₁ ^s1, ω₂^s1와 안정한 상태 2에 대하여 9.4Hz, 12.9Hz에서 ω₁ ^s1, ω₂^s1라는 각각의 안정한 상태가 관측될 수 있다. 쌍안정 평 판의 비선형 거동은 비선형 발진들과 모달 특성들의 정보를 제공하기 위한 FRF와 포엔카레 다이어그램의 개념을 조합한 실험적 주파수 응답 다이어그램을 이용하여 연구됐다[7].
이들 다이어그램은 전방향과 후방향 주파수 소거에 대하여 단일 하모닉 일정 견본 가속을 이용해 얻어졌다. 응답들의 최 대-최대(peak-to-peak) 진폭들은 정상 상태 운동의 보존적 인 몇 개의 강제 주기에 대하여 샘플링됐으며 파라미터로서 강제 주파수를 이용하여 그렸다. 선형 응답에서는 단일 진폭값들이 주어진 강제 주파수에 대하여 보존적 주기들을 샘플 링 하여 얻었다.
역으로, 주어진 주파수에 대한 몇 개의 점들은 응답 신호 비선형 발진에서 다중 하모닉스의 존재를 나타낸다. 특별히 강제 주파수에 대한 진폭의 넓은 범위를 커버하는 점들의 조 밀한 클러스터들은 분기도에서 카오스 거동을 제시한다. 2.0g의 강제 진폭에 대하여 6Hz로부터 안정한 상태 2단계 상승시킨 주파수에서 초기 조건을 가지고 속도와 압전 전압 에 대한 주파수 응답 다이어그램들을 그림 4에 나타내었다.

다이어그램의 상부에서 발진이 발생하는 상태는 적절하다 는 것을 보여주고 있다. 넓은 주파수 범위에서 발생하는 비선 형 큰 진폭 발진의 다른 형태들은 다른 연구 결과[5]인 쌍안 정 빔 배열에서 관측된 것과 유사한 큰 진폭 리미트 사이클 발진뿐만 아니라 카오스, 1/2 서브하모닉 발진을 포함한 것 들을 보여준다. 서브하모닉 발진들은 안정한 상태에서 제한 되는 반면, 이 배치와 제어 파라미터에 대하여 카오스와 큰 진폭 리미트 사이클 발진기는 안정한 상태 사이의 순간적인 통과(snap-through)를 포함한다.
큰 진폭 속도들은 압전 배열 상의 전압에 대하여 큰 상관관 계가 있으며 특별히 카오스 응답과 리미트 사이클에 대하여 높은 전압이 얻어졌다. 8~10Hz 사이의 범위에서 관측된 LCO는 낮은 진폭 선형 해와 공존한다. 안정한 상태 1에서 시 작하는 발진은 속도에 대한 주파수 응답 다이어그램과 2.0g 의 강제 진폭에 대하여 25Hz 주파수로부터 압전 전압이 단 계적으로 줄어드는 것을 그림 5에 나타내었다.

이 경우에 1/2 하모닉과 카오스 발진들이 관측됐다. 상태 2에서 발진 시작에 대하여 강한 상관관계가 특히 카오스 발진들이 높은 속도와 압전 전압들 사이에서 관측되었다. 그림 6에 적절한 비선형 발진의 각각에 대하여 시계열 데이터를 나타내었다.

부하 최대를 얻기 위해 하비스터 전력, 저항 소거가 그림 7(a)에서 보여주는 것과 같이 적절하게 큰 진폭 응답의 각각 을 수행했다. 매우 높은 전력 출력은 2.0g의 가속 강제 레벨 에 대하여 각각 34mW와 27mW로 주어진 간헐성과 큰 진폭 리미트 사이클 발진을 얻었다.
카오스 운동은 최대 평균 전력 9mW을 얻었다. 이러한 응 답에 대하여 주파수의 넓은 범위를 고려한 현저한 레벨이 발 생할 수 있다.

모드ω1x1의 서브하모닉 응답 1/2의 출력은 다른 곳에서 관측된 비선형 영역들과 비교했을 때 적은 편이다. 그러나 이들 발진에서 평판에 의해 경험한 큰 편향이 주어진 것은 압전 트 랜스듀서의 배치를 최적화하여 더욱 높은 전력을 얻을 가능 성이 있으며 효과적으로 주파수 범위를 확장하면 높은 에너 지 변환을 얻을 수 있다. 그림 7(b)은 98.5kΩ의 부하에 대하 여 안정한 상태 2에서 초기 조건을 가진 발진을 강제 주파수 함수로서 평균 전력을 나타낸 것이다. 이러한 비최적화 부하 에 대하여 큰 평균 전력이 제시된 디바이스의 광대역 특성을 보여주는 주파수들의 넓은 범위를 얻게 되었다.

M. Ferrari, V. Ferrari, M. Guizzetti, B. Ando, S. Baglio, C. Trigona의 연구

M. Ferrari, V. Ferrari, M. Guizzetti, B. Ando, S. Baglio, C. Trigona[9]은 2010년 Sensors and Actuators A: Physical 발표한“Improved energy harvesting from wideband vibrations by nonlinear piezoelectric converters( 비선형 압전 변환기에 의한 광대역 진동으로부터 개 선된 에너지 하비스팅)”이란 제목의 논문을 통하여 자석에 의 한 쌍안정 비선형 발진기에 기반을 둔 에너지 하비스팅 접근 법을 실험으로 검증한 결과를 발표했다.

동작 원리

제안된 컨버터의 원리는 질량m , 강성 k를 가진 스프링, 변 위 x의 비선형 함수의 세기를 가진 평형으로부터 떨어진 질 량을 대칭적으로 미는 힘 F_NL에 의해 만들어진 효과를 더해 형성된 단차원(monpdimensinal) 비제동 선형 시스템의 기 준을 가지고 설명할 수 있다.그림 8은 시스템의 기계적 모델을 보여주며 여기서 F_NL로 인한 비선형 효과는 비선형 등가 강성 k_NL을 가진 요소에 의 해 표현된다.

질량m이 평형점으로부터 변위가 일어날 때 선형 스프링으로 인한 복원력 F와 질량 위에서 동작하는 비선형 요소로 인한 대응 반발력 F_NL은 식(1)과 같이 주어진다.

가정한 대칭성으로 인하여 힘 F_NL은 x의 비선형 홀수 함수가 된다. 여기서 이들 특징의 가장 간단한 함수는 식(2)와 같이 주어지는 3차 시스템이다.

여기서계수α, β는시스템의특성에의존하는양의실수이다. 비선형 등가 강성 kNL은 식(3)과 같이 주어지는 비선형 짝수함수의 결과이다.

따라서 변위 x에 의해 주어진 질량의 자유 운동은 식(4)와 같은 미분 방정식에 의해 제어된다.

퍼텐셜 에너지 U(x)는 질량 m 위에 동작하는 전체 힘의 공간 적분에 의해 얻어지며 식(5)와 같이 정리된다.

그림 9는 (k-α)와 β≥0의 다른 값들에 대한 퍼텐셜 에너지U(x)를 나타내었다. β=0에 서 시스템은 선형이다. β〉0와(k-α)≤0에 대하여 퍼텐셜 U(x)는 원점에서 오직 하나의 안정한 평형점을 가진다. 이 조건에서 (k-α)는 원점 부근의 선형화된 시스템의 등가 강성을 즉, α가 증가할 때 감소하는 것을나타낸다. β〉0와 (k-α)⋏0일 때 U(x)는 원점에서 쌍안정 거동을 함축하는 2개의 안정한 평형점을 가진 대칭 이중 우물과 불안정한 평형점을 보여준다.

후자는 진동이 변환되는 것을 나타내는 외부의 인가된 힘 아래서 질량은 각 우물에서 안정한 평형점 부근에서 발진할 수 있거나 만약 공급된 기계적 에너지가 충분하게 높다면 하 나의 우물에서 다른 우물로 점프할 수 있다.
컨버터 출력에서 평균 증가를 결정하게 될 변위에서 이것 은 갑자기 점프하는 것을 만든다. 캔틸레버 빔을 고려하면 이 것은 그림 10에서 보여주는 것과 같이 빔 축을 따라 거리 d에 서 외부의 고정된 지지 위와 캔틸레버 팁 위에 각각 반대 극성 들을 가진 2개의 영구 자석 위치에 의해 앞서 기술된 쌍안정 성을 만드는 것이 가능하다. 반발력 F_R은 2개의 자석 사이에 동작하며 이것은 거리 d의 증가에 따른 진폭에서 감소한다.

근사 해석을 수행하기 위하여 이 시스템은 그림 11의 집중 정수 모노차원 모델에서 단순화시킬 수 있다. 질량 m은 자석 에 추가하여 캔틸레버의 1차 유연 굴곡 모드의 유효 질량에 대하여 계산되며 강성 k는 탄성 반응을 나타낸다. 그림 10에 서 캔틸레버의 실제 휨은 그림 11의 단순화한 질량의 수직 변 위로 표현된다.

d의 주어진 값에 대하여 질량이 이동하면 반발력 F_R은 각도 θ에 의한 방향에서 변화하지만, 이것은 진폭에서 상수로 남 아있는 것을 가정하게 될 것이다. 이것은 현재 목적을 위하여 더욱더 단순화시킨 것은 전체적으로 작은 각도 θ에 대하여 적절하다. 힘 F_R의 수평 성분은 충분하게 높다고 가정된 캔틸레버의 세로 강성에 의해 평형 된다. F_R의 수직 성분 F_RV는 운동에 영 향을 주고 이것은 식(6)과 같이 주어진다.

수직적 팁 변위 x와 각 θ는 x=dtanθ에 의해 관련된다. 따라서 반발력의 수직 성분 F_RV와 x 사이의 결과 관계는 식(7)과 같이 정리된다.

식(7)에서와 같이 수직적인 힘 F_RV 3차 항에서 x=0 부근에서 계산된 시계열 속으로 확장할 수 있으며 식(8)과 같이 얻어지다.

식(8)에서 F_RV는 팁 변위 x의 비선형 홀수 함수 상태에 있는 식(2)에서 F_NL과 같은 일반 형태를 보이고 있는 것을 관측할수 있다. F_R이 거리 d의 감소함수 F_R(d)라고 고려하면 계수 α와 β들은 각각 F_R(d)/d와 F_R(d)/(2d³)에 의해 주어지며 이들 모두 는 거리 d의 감소함수 결과이다.
이러한 방법에서 거리 d의 변화는 그림 9에서 보여주는 것 과 같이 시스템의 퍼텐셜 에너지의 형상에서 변화를 포함하 므로 단조 안정 또는 쌍안정 시스템 거동을 생성한다. 시스템 이 쌍안정 거동을 가질 때 기저에서 기계적으로 여기 되었을 때 2개의 상태 사이의 점프를 위한 가능성을 가지고 이 빔은 2개의 굴절된 편향 위치를 가진다. 그림 9에서 자기력으로 인하여 비선형 효과와 캔틸레버를 포함한 표본 시스템의 수치 시뮬레이션을 수행했다. 비선형 스위칭 메커니즘 모델은 2개의 1차 Ito 방정식으로 표현했으 며][10] MATLAB SDE(Stochastic Differential Equation) Toolbox[11]로 계산했다. Eulero-Maruyama 기법이 사용 됐으며 백색 잡음 진동원은 캔틸레버 기저에 인가했다. 그림 12는 각각 캔틸레버의 외주 자석 사이의 큰 거리를 넘어서며 유한에 대응하는 선형의 경우에 쌍안정이 존재하는 캔틸레버 빔의 정량적인 편향을 보여준다.

그림 13은 주파수 영역에서의 속도 전력 스펙트럼 밀도, 최댓값에서 정규화된 응답을 보여준다. 비선형 쌍안정 사례 가 선형 사례의 공진 거동과 비교하여 보다 넓은 대역폭을 가 진 스펙트럼으로 주어진다. 이것은 넓은 스펙트럼 진동의 변 환에서 개선된 효과와 생산하는 것이 예상된다.

실험에 의한 원리 검증

비선형 거동의 원리는 매크로 크기와 마이크로 크기 모두 에서 계산했다. 매크로 크기에서의 검증을 위하여 압전 바이 모프 컨버터의 다른 장치들이 철강 캔틸레버 위의 낮은 큐링 온도 PZT 막의 스크린 인쇄에 의해 구현됐다[12]. 캔틸레버 의 첫 번째 장치는 팁 변위의 측정 수행과 디바이스들의 기계 적 거동에 초점을 둔 원리 검증을 위해 초기에 사용됐다. 캔 틸레버들은 40mm×5mm×0.5mm의 차원을 가진다.
외부 영구 자석은 자석들 사이의 거리d가변화될수있게하 려고 마이크로 측정 장치에 고정되는 반면 영구자석은 캔틸레 버 팁 위에 고정된다. 이 자석들은 자기력의 결과가 반발력으 로 나타나게 하려고 반대 극성들로 실장 됐다. 반사센서 OPB705 반사센서로 구현한 광 삼각대 장치는 그림 14에서 보여주는 것과 같이 캔틸레버 팁 변위 측정을 위해 사용되었다.

이 설정을 가지고 식(2)과 식(8)에서 거리 d의 증가는 α, β 값들의 증가를 의미한다. 컨버터는 전자동력 흔들기에 의해 생성된 수직 기계적 진동기에 의한 기저에서 여기 한다. 흔들 기는 그림 15에서 보여주는 것과 같이 정규화된 진폭 스펙트 럼을 가진 대역 통과 필터 백색 잡음 전압에 의해 구동한다.

그림 16은 rms 가속 a(rms)=0.3g에서 흔들기 결과로부터 인가된 여기 상태에서 캔틸레버의 측정된 팁 변위를 보여주고 있다.

그림 16의 측정된 신호의 시간 기록에서 보여주는 것과 같 이 거리 d가 큰 값으로부터 감소했을 때 시스템은 초기에 선형 화된 공진 주파수 즉 선형화된 시스템의 공진 주파수에서 점 진적으로 감소하는 단조 안정 준 선형 거동을 등가 강성(k-α) 이 양의 값이 될 때까지 초기에 유지한다. 동시에 변위는 감 소한 등가 강성(k-α) 때문에 증가한다. 자석들이 적당하게 근 접되었을 때(d=2.5mm), 등가 강성(k-α)은 음의 값이 되므로 시스템의 쌍안정성을 만든다. 이 조건에서 2개의 안정한 상 태 사이의 스위칭이 발생하며 팁 변위의 섭동은 현저하게 증 가한다.
마이크로 크기에서 제안한 접근을 평가하기 위하여 MEMS 디바이스가 SOI 기술을 이용하여 설계했으며 이를 그림 17에 나타내었다.
그림 17에서 설계한 마이크로 구조는 3400μm×700μm 연 결 팔에 의해 이들의 자유를 최대로 하여 연결한 700μm의 폭과 2,500μm의 길이를 가지는 2개의 병렬 클램프 빔을 가 지는U-형상캔틸레버디바이스이다. 디바이스의두께는15μm 이다. 각각 측면 빔의 클램프 끝단에서 다결정 압전 저항들이 미세 구조 편향을 검출하기 위해 배치됐다.

제안한 접근을 실험적으로 평가하기 위하여 영구자석을 그 림 17에서 보여주는 것과 같이 U형 캔틸레버 팁에 접착했다. 외부 영구자석 스택은 2개 자석 사이의 거리 d를 수정하기 위 하여 병진 시스템상의 마이크로 디바이스 전면에 있었다.
흔들기는 기계적으로 여기 된 마이크로 구조를 사용했다. 압전 저항기들은 전압 출력을 유도하는 휘스톤 브리지에 연 결했고, LabVIEW를 사용하여 데이터를 처리했다.
그림 18은 자석들이 적절하게 가까워졌을 때 즉 1mm의 거리에서 브리지로부터 증폭된 출력 신호의 일반적인 시간기록을 나타낸다. 그림 18의 결과는 이론적 예측과 일치하며 2개의 안정한 상태 사이들 사이의 캔틸레버 진동들은 여기가 충분함을 제공하는 있음을 확인해주고 있다.

그림 19는 시스템의 쌍안정을 만드는 적절한 값인 d=2.5mm에서 얻어진 일반적인 결과를 보여준다. 팁 변위의 측정한 동향은 그림 16의 결과와 일치하며 이것은 그림 12에서 보여준 비선형 시스템의 시뮬레이션 결과와 동일한 안정한 거동임을 보여준다.

측정된 전압을 고려하면 압전 컨버터가 진폭이 스트레스에 비례한 전하원 Q_p에 의해 편리하게 모델링되므로 편향 x에서 캐패시턴스C_p와 누설 저항 R_p는 병렬로 접속, 개방회로 출력 전압 V_p는 팁 변위의 고역 통과 함수에서의 결과이다[13].
이것은 그림 19과 일치하며 여기서 이것은 변위 x가 발생 하는 곳에서 스위칭할 때 보이며 전압 펄스는 Vp에서 생성된 다. 그 결과 비선형 거동은 컨버터로부터 개방회로 전압에 서 증가를 만들어내며 다른 거리 d에서 각각 V_d-25.0mm=4.27V,V_d-5.0mm=6.11V, V_d-2.5mm=7.99V로 계산된 결과들의 평균 전압값 들에 의해 검증된다.
그림 20에 컨버터 출력에서 에너지 내용이 잠재적으로 유 용할 수 있는 주파수 분포상의 정보를 제공하는 전압 스펙트 럼을 나타내었다.
그림 20에서 감소하는 거리 d 시스템은 초기에 단안정과 준선형이 남아 있으며 동시에 선형화된 공진 주파수는 등가 순응에서 증가하기 때문에 감소하고 있음을 관측할 수 있다. d가 충분하게 클 때 즉, 약 4mm가 되는 것으로 추정되는 임 계값보다 낮을 때 등가 강성은 음의 값이 되며 여기 조건에서 시스템은 쌍안정 거동 속으로 그림 13의 시뮬레이션에서 예 측된 유사한 형상 변화를 하고 토글 된다.

캔틸레버는 2개의 안정한 상태 사이를 진동하며 이는 특별히 주파수 이하의 공진에서 선형과 준선형 경우에 대응하는 보다 넓은 주파수 범위를 넘어 보다 높은 전압 출력이 있음을 예측하는 증거이다. 전압 V_p의 전력 스펙트럼 밀도 S_v( f), f₁과 f₂ 사이의 주파수 범위에서 저항성 부하 R_L에 수송된 전력은 식(9)와 같이 주어진다.

여기서 컨버터의 내부 임피던스는 C_p에 의해 지배되는 것으로 가정됐다. 전달 함수 H(f)는 가중 항이며 이는 전원과 부하 임피던스 사이의 주파수에 대하여 채택한 것을 계산한다. 이 경우에 f₁≥1(2πC_pR_L)에서 식(9)는 P=(V_prms)²/R_L로 단순화한다. 이것은 대역폭에 대하여 rms 출력 전압이 단순화 한 조건들에서 부하에 수송된 전력의 1차 지시기가 적당한 것으로 판정한다[14].
임의의 특정한 상황에서 식(9)는 부하 저항 R_L을 대체하는 적절한 부하로 일반화하는 것을 고려해야만 한다. d가 변화 할 때 시스템의 국부적으로 선형화한 거동을 그림 21에 나타 내었다. 여기서 선형화된 공진 주파수 컨버터는 기계적 여기 의 고정된 진폭 거리 d에 대하여 그려졌다. 여기 레벨은 낮은 d에서 시스템의 퍼텐셜 에너지가 이중 우물이 될 때 2개의 안정한 상태 사이의 쌍안정성과 점프들 트리거링을 피하는데 충분하게 낮도록 설정한다. 결론적으로 이 시스템은 하나의 평형점 부근에 발진을 유지한다.

여기 진폭상의 선형화된 공진 주파수 값들의 잔류 의존성 에도 불구하고 이들은 입력 진동 레벨의 변화에 의해 정성적 으로 다른 그림 21의 결과를 만들어내게 되며 고정된 여기 진 폭에 대한 보고된 동향은 앞서 설명한 예측과 일치하는 중요 한 정보를 제공한다. 자석들 사이의 거리가 큰 값으로부터 시작하여 감소할 때 시스템이 단조 안정 퍼텐셜 에너지를 유지하는 동안 선형 또 는 선형화된 시스템의 공진 주파수의 감소 경향이 등가 강성 의 낮음으로 인하여 나타난다. d가 4mm 이하로 줄어둘 때 시스템의 퍼텐셜 에너지는 이중 우물 형상으로 스위치 된다. 이 영역에서 준비된 여기는 충분하며 이 시스템은 국부적 선 형으로서 평형 상태 또는 거동으로 정착할 수 있다. 자석을 더욱 가깝게 하면 보다 높은 속박과 등가 강체가 있으며 이는 거리 d를 감소시키는 것을 가지고 증가하는 국부적으로 선형 화된 시스템의 공진 주파수의 원인으로 전환된다.


참고문헌
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