[기계공학에서의 비선형 특성 Ⅴ.] 건식 마찰 시스템에서의 발진 (4) … 변위건식

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)


이번 글에서는 진동이 유도하는 변위 건식에 관하여 설명한다. 이는 진동이 유도하는 수송 또는 진동이 유도하는 병진이라고 불린다. 이는 대칭 발진(또는 여기) 시스템에 직접적인 운동으로 변환하는 현상을 말한다.
이러한 현상은 진동하는 컨베이어와 스크린, 거대한 물질을 수송하는 다른 기계와 같은 화학이나 토목공학의 다양한 기계에서 사용한다. 이들 기계의 수백 가지 다른 설계들은 실제 사용되고 있다. 그러나 이 현상은 실제적일 뿐 아니라 대부분이 일반적으로 중요하다. 이것은 몇몇 선호하는 방향속으로 입력 에너지를 조절하기 위해서 시스템은 비대칭성을 사용하는 진동의 능력으로 검증한다.
이 이외에도 불연속 시스템의 특수성 검증을 위한 우수한 기회를 제공하며 적절한 평균 절차를 소개한다. 또한 고주파와 작은 진폭에서 발진하는 공진기에서 다른 마찰 계수를 가지고 마찰층 사이에 끼인 슬라이더의 진동 기반 운동을 정량화하기 위한 공진 마찰 슬라이더의 진동 유도 변위에 관하여 설명한다.

진동으로 유도된 변위의 간단한 예제[1]

불연속 시스템 분석에서 발생할 수 있는 일반적인 문제들을 보여주기 위한 미끄러짐 시스템의 간단한 예제를 알아보자. 그림 1과 같은 진동으로 유도된 변위의 모델을 생각해 보자.
그림1과 같은 시스템은 마찰 면 위에 회색의 상자로 표시하는 물체로 구성한다. 만약 이 물체가 전방 또는 후방으로 인도한다면 마찰 계수들은 다르게 가지게 된다.
이 물체의 운동 방정식은 식(1)과 같이 기술할 수 있다.

여기서 x는 평면 위 물체의 좌표, a는 여기 진폭, g는 중력 가속도이다. 상수uf 와 ub 들은 전방과 후방의 마찰 계수이며 서로 다르다고 가정한다. 1계단 함수(one step function)

1계단 함수와 식(1)의 비대칭 마찰 법칙들을 그림 2에 나타내었다. 마찰력의 비대칭에 대한 가정은 우리가 볼 수 있는 것처럼 일반적이지 않다. 표면의 대다수는 금속 절단과 같은 생산 공정으로 인하여 몇몇 구조를 가지며 명백하게 비등방성이다.

식(1)은 x를 포함하지 않는다. 따라서 우리는 물체의 위치에 관심이 없으며 오직 물체의 속도에 관심을 둔다. 평균 마찰력과 마찰의 비대칭성을 소개하면서 식(1)은 식(3)과 같이 다시 표현할 수 있다.

소개한 공식적인 작은 파라미터 ε은 마찰력이 작다는 가정을 나타낸다.
평균을 위해 적절한 형태에서 섭동된 시스템 변환을 위한 기본적인 아이디어는 비섭동 시스템을 고려하는 것이다. 이경우 이것은 식(4)와 같이 표시한다.

새로운 미지의 함수 u는 식(6)에 의해 제어된다.

이것은 평균에 대한 표준형에서의 방정식인 것처럼 보인다. 불행하게도 이 방정식의 우변이 작은 파라미터에 비례하고 제한되고 주기적일지라도 이것은 사례가 아니다.
이 문제는 s g n 함수가 불연속이며 중요성으로서 Lipschity-조건을 채우지 못한다는 것이다. 그러나 이 시스
템은 불연속의 특수한 형태에 대하여 일반화된 평균을 줄 수 있는 중요한 특수성을 가진다.
불연속 함수의 독립 변수는 천천히 변화하는 함수 이다.

1. 진동 유도 변위의 기본적인 예제 : 1차 근사

식(6)은 만약 -1< u<1의 범위를 고려할 때 정리 1의 모든 조건을 만족한다.
[정리 1] 식(7)과 같은 초깃값 문제를 고려하자.

식(7)에 대응하는 평균 시스템은 식(8)과 같이 정리된다.

여기서 E는 1 계단 함수이다.
그런 후 우변 항에 있는 것으로 직접 평균을 위한 후 1차 근사의 방정식을 얻을 수 있다. 먼저 식(9)와 같이 평균을 계산 해야만 한다.

1차 근사의 방정식은 식(10)과 같이 표현된다.

여기서 첨자 1은 1차 근사의 평균 함수를 나타낸다. 식(10)의 정지해는 우변 항을 0으로 설정함에 의해 찾을 수 있다.

이 해의 정밀도는 수치 시뮬레이션으로 쉽게 확인할 수 있다. 그 비교를 그림 3에 나타내었다.

을 가지고 수행 하였다. 근사 해의 정밀도는 완전히 수용 가
능한 것처럼 보인다.
달성된 결과는 물리적으로 명백하다. 이방성 마찰을 가진 표면 위에서 발진하는 물체는 보다 작은 마찰 방향으로 평균으로 움직인다.
만약 우리가 수평과 수직 여기의 동기가 중복되는 타원 여기에서 이방성 마찰을 가진 표면 위의 물체를 생각한다면 동일한 실제적 효과들은 달성할 수 있다. 그림 4와 같은 시스템을 고려해보자.
물체의 운동 지배 방정식은 식(12)와 같이 쓸 수 있다.

식(12)의 방정식은 마찰력이 정상적인 반응력에 비례한다는 사실을 표현한다. 이 경우에 정상적인 힘은 평면의 수직 가속에 의해 영향을 받는다. 따라서 여기의 비대칭성은 병진 운동의 원인이 된다.
물체가 앞으로 나갈 때 병진 운동은 뒤로 움직임으로서 물체를 평면 쪽으로 누르며 이때 위상에서의 압력을 줄여준다. 이러한 영향들은 그림2와 비교하여 작고 빠른 진동 때문에 중첩되어 천천히 변하는 정상상태 병진 운동에서의 결과이다.
이 원리에 기반을 둔 많은 기계가 있다. 먼저 진동하는 컨베이어와 물체들이 거대한 재료 공정에서 사용된다. 식(12)는 식(13)과 같은 고속 무차원 시간과 2개의 2차원 파라미터를 도입하여 풀 수 있다.

식(13)의 파라미터를 이용하고 강한 HF 여기의 존재에서 마찰을 가진 강철봉이 불가능하다는 사실을 적용하면 식(11)은 식(14)와 같이 다시 정리된다.

수평 진폭 는 작은 파라미터라고 가정하면 식(14)는 식 (15)와 같이 정리된다.

이 시스템은 평균화될 수 있다. 이 시스템은 식(16)의 적분으로 쉽게 계산된다.

평균 방정식은 식(17)과 같이 정리된다.

이것은 정지해가 만약 ｜V₁｜>1이라면 불가능하다는 것이 명백하다. 만약 ｜V₁｜<1이라면 물체의 정상 병진 속도는 식 (18)에 의해서 조정된다.

일반적으로 이 방정식은 수치적으로 풀어야만 한다. 그러나 많은 경우에 다음과 같은 근사가 유용할 수 있다. 우리는 정지 속도 대신에 새로운 변수를 도입할 수 있다.

이 방정식의 해가  근접하다고 가정한다면 ø에 대한 이 방정식을 식(20)과 같이 풀 수 있다.

마지막으로 타원적으로 HF 여기된 평면상에서 질량의 정지 평면상의 정지 운동에 대한 근사 관계를 식(21)과 같이 얻는다.

정지 병진 속도가 마찰 계수에 의존하지 않는다는 것은 흥미 있는 일이다. 물체의 병진 운동은 마찰 비대칭에 의해 원인이 되며 대응하는 속도는 비대칭에 비례한다. 이 경우에 병진 운동에 대한 이유는 여기의 비대칭성이다.
식(21)의 근사해와 수치 시뮬레이션 사이의 비교를 g=10, w=50, aㅣ=0.002, u=0.1의 파라미터를 가지고 수행했으며, 이에 대한 결과를 그림 5에 나타내었다. 그림 5는 수직과 수평 여기 사이의 위상차에 의존하는 병진 운동의 시뮬레이션과 해석적 예측에 대한 평균 속도를 보여준다.


공진 마찰 슬라이더의 진동 유도 변위[2]

Alexander Fidlin은 2001년 Eur.J.mech. A/Solids 20에 발표한 “Predicting vibration-induced displacement
for a resonant friction slider(공진 마찰 슬라이더를 위한 진동-유도 변위 예측)”이란 논문을 통해 고주파와 작은 진폭에서 발진하는 공진기에서 다른 마찰 계수를 가지고 마찰층 사이에 끼인 슬라이더의 진동 기반 운동을 정량화하기 위한 수학적 모델을 제시했다. 이 모델은 높은 비선형성을 가지며 강한 고조파 여기 항을 가진 비평활 함수를 포함한다.

1. 시스템 기술

그림 6(a)는 내장된 발진기를 가진 강체 슬라이더를 고려한 시스템을 보여준다. 이 시스템은 슬라이더, 공진기와 2개의 고정자(stator)인 쌍으로 구성되어 있다. 이 발진기는 고주파 공진 부근에서 구동된다.

슬라이더 2개의 병렬 표면은 다른 마찰 특성이 있는 마찰층에 대하여 사전에 적재되어 있다. 이것은 마찰층에서의 정상적인 부하에 비대칭적으로 의존하는 마찰력을 생성한다. 마찰층에서 비정상으로 평행하지 않게 정렬된 내부 공진기를 가지고 공진기의 관성력은 고주파 진동의 작은 중첩을 한 1방향 속으로 이동하기 위한 슬라이더의 원인이 될 수 있다.
따라서 작지만, 고속인 공진기에 공급된 에너지 부분은 슬라이더의 선형 운동보다 크고 대체로 작은 운동 속으로 전환된다. 슬라이더는 길이 L, 잘량 M의 강체를 고려하였다. 시간 t에서 물체 G의 중심은 공간의 고정점으로부터 거리 X(t)에 위치한다. 회전운동은 금지되어 있고 따라서 회전 관성은 무시한다.
가해진 힘 P는 슬라이더에 반대로 작용하며 시스템의 외부 부하로 표현한다. 고정자는 슬라이더에 틈새가 없는 미끄럼 홈을 제공하며 공간에 고정되어 있고 중력장 g에서 수평으로부터 각도 가지고 기울어져 있다.
공진기는 순시 위치 W(t), 강체 k, 점성 제동 계수 c, 슬라이더 내부 기울기 가지고 실장된 선형 1-자유도 발진기를 고려하였다. 공진기 기반은 작은 진폭과 고주파 부근의 공진에서 운동학적으로 구동된다. 따라서 공진기에 기반을 두어 외부적으로 제어된 변위는 식(2)와 같이 나타낸다.

공진기는 슬라이더 내부 한 끝에서 체결된 기존의 고주파 트랜듀서에 의해 구현되어야 하며 압전 세라믹(진폭 1um , 주파수 30kHz)에 의해 공진 부근에서 구동된다.
슬라이더와 고정자 사이의 접촉은 하부 접촉 표면과 상부 접촉 표면에 대하여 각각 마찰 속도-
의존 계수에 의해 특성화된 건식 마찰로 제어되며 여기서  고정자에 대한 상대적인 속도이다. 쿨롱 마찰을 고려하면 식(23)과 같이 놓는다.

가 되도록 고정자들 사이의 힘 N₀> 에 의해 미리 적재되어 있으며 중력은 계산하지 않는다. 사전에 적재된 것은 동작 기간 2개의 슬라이더 고정자 인터페이스에서 안정한 접촉을 유지하기 위해 충분하게 크다고 가정한다.

2. 운동 방정식


이 표현한다.

여기서 F_1,2는 위에 기술된 마찰력, (· )≡d/dt 이다.  이를 라그랑지 방정식으로 적용하면 식(25)와 같이 정리된다.

운동방정식은 식(26)과 같이 된다.

마찰력 F₁ ,F₂ 를 결정하기 위해서는 마찰층에서 정상적인 힘 N₁ 과 N₂ 를 계산하는 것이 필요하다. 진동하는 내부 공진기로부터 전달된 관성력에 의해 결정되는 이들은 시간에 따라 변하게 될 것이다.
이들 두 마찰층은 동일한 횡적 강성을 가지는 것으로 가정하고 하나의 표면 위의 슬라이더에 의해 삽입된 압축 정상 부하에서 임의의 △N 증가는 영의 정상적인 힘에 틈새가 발생할 때까지 다른 표면 위에 적재된 것에서 동일한 감소에 의해 평형을 맞추게 될 것이다.

하는 동안 사전 적재 이 틈새를 막을 만하게 큰 경우를 다룬다.
이러한 사례에 대하여 식(2 7 )과 같이 표현하도록

여기서 △N은 그림 5(b)의 슬라이더에서와같이 요구되는 힘 평형에 의해 얻어지며 식(28)과 같이 표현된다.

간에서 압축 슬라이더 적재를 보장한다.
식(22)에 의해 주어는 외부 고조파 여기와 주파수는 식 (29)와 같이 주어진다.

그리고 비차원 변수와 파라미터들은 식(30)과 같이 주어진다.

비차원 운동 방정식은 식(31)과 같이 정리된다.

리된다.

 내부 공진기의 비차원 구동 주파수와 진폭이다. 내부 공진기는 1과 같은 자연 주파수와 제동비  가진다.  공진기의 상대적 질량을 나타내고 공진기의 위치  이것의 통계적 평형과 관계된다. 또한  2개의 마찰 층에 대하여 평균 마찰 계수이며  마찰계수에서 비대칭 차이, n₀는 슬라이더의 사전 부하, p는 외부 부하이다.

3. 시스템 거동

식(31)의 해는 5차와 6차 변수 스텝 크기 Runge-Kutta 적분을 이용해 얻어진다. 그림 7은 여자 진폭이 각각
a=0.05(아래 곡선), a=0.02(중간), a=0.005(위 곡선)일 때와 다른 파라미터들은 그림 제목에 표시한 파라미터를 가졌을 때의 슬라이더 운동 대한 3개의 응답을 보여준다.
여기는 모든 곡선, 즉 대하여 공진이다. 또한, 공급된 입력 에너지의 레벨은 동일하다. 즉 한편, 사전 부하 n₀는 각 경우에서 슬라이더-고정자 틈새를 막기 위해 충분히 크게 선택해왔다. 이 결과들은 시간 크기 나타냈으며 물리적 시간 t에 비례한다.


4. 평균 운동 예측

비선형 미분 방정식(31)의 해를 얻기 위하여 Bogoliubov와 Mitropolskii[3]의 평균법 확장의 근사 기법을 사용한다. 먼저 식(10)의 가장 높은 미분을 풀고 다음에 작은 파라미터를 대입하고 공진기의 경우에 제시한 해석을 제한하여 적용한다. 두 번째로 공진기 운동을 기술하는 시스템의 연속적인 부분의 평균을 취한다. 마지막으로 매우 특별한 형태의 슬라이더 운동을 기술하는 불연속 방정식을 변환한다. 이 형태는 Bogoliubov와 Mitropolskii[3]와 다르지만, 시스템을 포함하여 공식적인 평균을 구하는 데 확장하여 사용할 수 있다. 평균을 구한 후 슬라이더의 정상 속도에 대하여 매우 간단한 근사 표현에 도달한다.

5. 공진을 위한 작은 파라미터 소개

식(31)에서 가장 높은 미분을 구하기 위해서 식(33)을 찾았다.

파라미터의 진폭 차수를 가정하고 공식적인 작은 파라미터인 ∈≪1을 도입하기 위해 식(34)과 같이 가정한다.

식(34)를 식(33)에 대입하고 여기에 파라미터 값을 넣고 다른 파라미터를 이용하여 변환한다. 그리고 공진조건을 넣으면 식(35)와 같은 공진을 위한 파라미터 값을 얻게 된다.

6. 시스템의 연속 부분 평균 : 공진기 운동

식(35)를 통하여 점근적 해석을 얻을 수 있다. 여기에는 2개의 변수, 즉 공진기 발진의 진폭과 발진과 여기 사이의 위상차가 있으며 이들은 천천히 변하며 빠르게 변하는 회전 위상도 있다.
평균 과정을 구하는 과정에서 식(36)과 같은 평균값들이 필요하다.

식(15)와 식(36)으로부터 공진기의 진폭은 식(37)과 같이 얻어진다.

7. 슬라이더 운동의 평균 : 평균 슬라이더 속도

슬라이더 속도 를 구하기 위해 식(35)에서 식(38)과 같은 지배 방정식을 나타낼 수 있다.

식(38)을 풀기 위해 그림 8과 식(39)로 표시되는 2개의 함수를 도입한다.

식(39)와 몇몇 도입되는 변수를 이용하면 식(40)과 같은 새로운 속도 변수에 대한 지배 방정식이 구해진다. 여기서 식(40) 우변의 중괄호 속 2개의 사인 함수들 사이의 차를 그림 9에 나타내었다.

식(40)과 그림 9를 이용하여 변수들을 정리하면 식(41)과 같은 최종 속도를 얻는다.

8. 파라미터의 독립 성능


그림 10(a)~(f)는 몇몇 필수적인 시스템 파라미터를 가지고 평균 슬라이더 속도  변화를 보여준다. 이 곡선은 그림 10에 나타낸 비차원 파라미터의 고정된 값을 가지고 식(41)의 근사 표현에 기반을 둔다. 이들 각각의 곡선은 하나의 파라미터가 변하는 동안의 값을 취하였다. 원형 마커들은 식(31)의 전체 운동 방정식의 수치 적분에 의해 얻어진 결과들이다. 근사와 수치 결과 사이의 일치는 매우 우수함을 알 수 있다. 이것은 평균 해를 얻는 더욱 복잡한 기술들을 판단한다.
그림 10(a)는 여기 주파수 내부 공진기의 제동되지 않은 자연 주파수에 근접할 때 평균 슬라이더 속도에 대한 최댓값을 보여준다. 이 곡선은 조사된 현상의 공진 특성을 반영한다.
그림 10(b)는 평균 마찰 계수의 효과를 보여준다. 이것은 주요 경향을 보여주기 위하여 넓은 변위에 대하여 변화시켰다. 슬라이더의 평균 속도는 증가한 평균 마찰을 가지고 거의 선형적으로 감소한다.
그림 10(c)는 마찰에서 비대칭, 즉 슬라이더 주변의 2개 마찰층의 마찰계수 사이의 차이에 대한 더 강한 영향을 보여준다. 이 비대칭은 슬라이더가 이동하는 것에 대한 원인이 되며 전체 효과는 필수적인 자원이다. 따라서 만약 슬라이더의 속도는 0이 된다. 식(41)의 성능은 이러한 경향을 예측하며 그림 10(b)에서 경향이 보인다.
그림 10(d)는 중력에 대하여 올라가는 슬라이더의 능력을 보여준다. 실제 파라미터에서 이것은 나타나며 약 11°까지 고정자가 기울어질 수 있다. 유도된 힘의 변화는 단지 중력에 균형을 잡고 슬라이더가 위에서부터 아래로의 운동 방향이 반대로 된다.
그림 10(e)은 공진 질량비 의 영향을 보여준다. 이 곡선은 최대 특성을 가지며 정량적으로 설명될 수 있다. 슬라이더 운동은 공진기로 유도된 힘에 의해 발생할 수 있다. 따라서 공진기 질량의 증가는 공진의 발진 진폭 감소를 가져온다. 의 몇몇 효과는 이를 극복함을 보여주고 슬라이더의 속도는 감소하기 시작한다.
마지막으로 그림 10(f)는 공진기 기울기 에 의해 어떻게 속도에 영향을 주는가를 묘사한다. 만약 =0이라면 마찰에서의 비대칭성은 여기에서의 영향이 없다. 따라서 슬라이더는 0의 평균 속도를 가진다. 의 증가를 가지고 마찰에서의 비대칭성은 나타나기 시작하며 속도는 거의 75°에서 선형적으로 증가한다. 이 값을 넘어서면 마찰력은 슬라이더의 주기적 강성을 가지는 충분한 원인이 된다. 낮은 평균 속도는 원형과 같은 수치 결과로부터 나타난다.

참고문헌

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